Najbardziej prawdopodobna liczba

Wyobraź sobie dane liczbowe. Spójrz na ich pierwsze liczby. Wydawałoby się, że każda cyfra – od jedynki do dziewiątki – będzie występowała mniej więcej tyle samo. Otóż nie!

Okazuje się, że nieważne jakie dane z prawdziwego świata byśmy zebrali, okaże się, że liczb, które zaczynają się od cyfry jeden będzie najwięcej, a liczb, które zaczynają się od cyfry dziewięć będzie najmniej.

Ta dziwna cecha danych została odkryta przez inżyniera elektryka Franka Benforda w tysiąc dziewięćset trzydziestym ósmym roku. W ten sposób ponownie odkrył prawo sformułowane po raz pierwszy przez astronoma Simona Newcomba w 1881 roku.

Podsumowując: odkrył on, że częstotliwość z jaką występuje dana cyfra początkowa – czyli prawdopodobieństwo, że pierwsza cyfra przyjmie daną wartość – maleje wraz ze wzrostem tej wartości od 1 do 9.

Prawo Benforda mówi, że w pewnych zbiorach danych cyfra 1 pojawia się jako pierwsza w około 30% danych, cyfra 2 jest pierwsza w 18% danych i tak dalej.

Pierwsza cyfra Częstość
1 30,1%
2 17,6%
3 12,5%
4 9,7%
5 7,9%
6 6,7%
7 5,8%
8 5,1%
9 4,6%

Rozkład Benforda być może na pierwszy rzut oka nie jest oczywisty, ale krótki pomyślunek sprawia, że taka zależność staje się poprawna. Wyjaśnijmy to na przykładzie domów i ich numeracji. Stojące przy jednej ulicy domy są ponumerowane od 1 wzwyż. Jeśli domów jest dziewięć, to każda cyfra występuje na równi z innymi. Jeśli domów jest dziewiętnaście, liczba jeden będzie występowała jako pierwsza 11 razy (na 19 możliwych), więcej niż 50%. Wszystkie dziewięć cyfr ma równą częstotliwość tylko wtedy, gdy domów jest 9, 99, 999,… Co w przyrodzie zdarza się rzadko.

Rozkład Benforda jest o tyle fantastyczny, że pasuje do każdego rodzaju danych – czy to będzie powierzchnia wysp Bahama w milach, czy w kilometrach kwadratowych, czy to będą numery domów pomnożone przez 8 czy przez 62, czy też wyniki zawodów sportowych, dane giełdowe, liczba ludności różnych krajów, długości rzek… Nieistotne jednostki, w których mierzymy dane. Wszędzie tutaj występuje ta dziwna zależność, oczywiście o ile mamy wystarczająco dużą próbę.

Prawdopodobieństwo wystąpienia takowej cyfry obliczane jest z tego wzoru:

P_k = \log_{10}\frac{k+1}{k}=\log_{10}(1+\frac{1}{k})

Po co w ogóle o tym mówić? Czy ma to jakieś zastosowanie w praktyce?

Oczywiście!

Rozkład Benforda wykorzystywany jest w urzędach skarbowych, które wykrywają za jego pomocą fałszywe wartości w zeznaniach podatkowych. Osoby, które wymyślają fikcyjne kwoty najczęściej intuicyjnie używają wszystkich cyfr równomiernie. Malwersacje mogą być łatwo i szybko wykryte.

Najgłośniejszym przykładem zastosowania matematyki w tej dziedzinie było wykrycie malwersacji Jamesa Nelsona:

Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki.

  • oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całym procederze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły
  • większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów.
  • wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot.

Jeśli spodobał ci się ten tekst udostępnij go innym!

Źródła: Gabinet matematycznych zagadek - Ian Stewart; 50 teorii matematyki, które powinieneś znać - Tony Crilly
Żródła zdjęć: By Gknor - Praca własna, Domena publiczna, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4509760

Reklamy

One thought on “Najbardziej prawdopodobna liczba

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s