23 ludzi – ponad 50% szans, że dwie osoby mają urodziny tego samego dnia

Dziś pomówimy o bardzo nieintuicyjnym paradoksie dnia urodzin.

Zapraszam!

Paradoks urodzin

Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5.

Możemy je na swój sposób przeredagować: Jeśli w pokoju znajdują się 23 losowe osoby, istnieje 50% szansy, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia. Gdy jest ich 57, szanse wynoszą już 99%. Pięćdziesiąt osób to prawdopodobieństwo wynosi już 96,5%. 22 osoby, to wartość nieco poniżej ½.

Ale jak to możliwe, tym bardziej, że rok ma aż (najczęściej) 365 dni? Matematyka…

Z kolei gdyby w dużym pomieszczeniu znalazło się 365 osób, nie mielibyśmy (pomijając lata przestępne) 100% pewności, że jest para mająca urodziny tego samego dnia. Dopiero 366 sprawia, że z całą pewnością dwie z tych osób będzie miało urodziny tego samego dnia, wszyscy nie mogą bowiem mieć różnych dat urodzin.

Jest to tak zwana zasada szufladkowa – w n szufladach rozmieszczamy n+1 piłeczek – w co najmniej jednej szufladzie muszą się znaleźć dwie piłeczki.

Oczywiście w badaniu nie uwzględniono osób urodzonych znikającego dnia 29 lutego i bliźniaków, które zaburzyłyby wyniki badań, a także tak zwanej sezonowości rocznej urodzin. Ludzie nie rozmnażają się bowiem zupełnie losowo, lecz w… Sylwestra.

Poniżej grafika ukazująca dni roku, w której zauważyć możemy, że najwięcej dzieci rodzi się we wrześniu, dziewięć miesięcy po sylwestrowej i szampańskiej zabawie.

W paradoksie zakładamy, że prawdopodobieństwo wystąpienia urodzin danej osoby danego dnia jest równe jak każdego innego, tutaj bawimy się bardziej matematyką, niż odwzorowaniem ludzkiej rzeczywistości.

Choć ta pierwsza często bywa równie zaskakująca, jak ta druga.

Jak to możliwe?

Udowodnijmy to!

Prawdopodobieństwo tego, że jedna losowa osoba ma urodziny tego samego dnia co inna losowa wynosi 1/365, zatem prawdopodobieństwo, że mają różne dni urodzin wynosi 364/365 (1 – 1/365). Prawdopodobieństwo tego, że trzecia osoba ma ten sam dzień urodzin, co jedna z dwóch wcześniejszych wynosi 2/365, więc brak wspólnego dnia urodzin wynosi 363/365. To była ta trzecia osoba. A jakie jest prawdopodobieństwo, że nie ma takich dwóch osób o wspólnym dniu urodzin z tej trójki (w ogóle)? Obliczymy to mnożąc między siebie dwie wartości: 364/365 * 363/365, co wynosi około 0.99179583411.

Podobnie możemy obliczyć to dla czterech, pięciu, sześciu osób, i tak dalej. Dochodzimy w ten sposób do naszej liczby 23 osób. Tutaj wynik wychodzi 0,4927, jest to, przypominam wynik dla prawdopodobieństwa, że co najmniej dwie z tych osób nie ma urodzin tego samego dnia. Zatem prawdopodobieństwo, że dwie osoby mają urodziny tego samego dnia wynosi 1 – 0,4927 = 0,5073, co jest więcej niż ½.

Gdy osób jest 22, prawdopodobieństwo trafu na parę osób z tą samą datą urodzin co nasza wynosi 0,4757, czyli nieco poniżej krytycznej wartości.

Zabawy z datą urodzin

Jak się okazuje, bardziej intuicyjne wydaje się rozwiązanie problemu podobnego do tego omawianego wyżej, ale inaczej postawionego. Ile musiałoby być osób w jednym miejscu, żeby prawdopodobieństwo tego, że dwie osoby mają urodziny w dniu, załóżmy, 8 marca, było wyższe niż ½?

Odpowiedź jest prosta – 254 osoby. Żeby do tego dojść, trzeba pod n podłożyć liczbę osób w autobusie/pokoju: (364/365)^(n-1).

Ile musi być osób, żeby dowolne trzy osoby, miały urodziny tego samego dnia (oczywiście prawdopodobieństwo >½)? Wystarczy 88 osób (dla porównania 23 dla dwóch). Grupa 1000 osób sprawia, że aż 9 osób może z powodzeniem ½-ej obchodzić urodziny tego samego dnia.

14 osób wystarczy, żeby prawdopodobieństwo znalezienia dwóch osób, których daty urodzin różnią się co najwyżej o jeden dzień wynosiło ½.

Jak można to wykorzystać?

Są cwani ludzie, którzy potrafią i to wykorzystać!

Słyszałem historie o gościu, który wchodził do autobusów wycieczkowych i oferował pasażerom zakład, że jak znajdą się dwie osoby z tego samego dnia to dają mu po 10zł, a jak nie to on im daje. Ponoć ludzie w to wchodzili, a autobusy mają zwykle około 50 osób, więc koleś dobre sumki zarabiał 🙂 .

Kto by pomyślał, że matematyka może być taka ciekawa!


Jeśli zainteresował Cię ten tekst, sprawdź ten, w którym piszę o najbardziej prawdopodobnej cyfrze.

Jeśli spodobał ci się ten tekst, rozważ kliknięcie przycisku „Lubię” pod tekstem. Za tydzień kolejny! Zapisz się do newslettera (poniżej) lub dodaj stronę do czytnika.

Miłego dnia! 🙂


Źródło zdjęcia tytułowego: Wikimedia

Źródła zdjęć: Wikimedia, VizWiz

Źródła wiedzy: 50 teorii matematyki, które powinieneś znać, Wikipedia

 

Reklamy

2 thoughts on “23 ludzi – ponad 50% szans, że dwie osoby mają urodziny tego samego dnia

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s