Dlaczego 0,999…=1?

Jak to możliwe, skoro 0,999… = 0,(9), co jest trochę mniej niż zero?

Ucząc się w szkole dowiadujemy się, że istnieją liczby, które ciągną się w nieskończoność. Taką jest na przykład π, lub ⅓…

Liczby, w których układ cyfr powtarza się, zapisujemy w postaci nawiasów: 0,333…=0,(3), lub 83/35=2,3(714285).

Jak na razie OK, ale co z tą 0,(9)?

0,333…=0,(3)

0,(3) x 3 = 0,(9) = 0,999…

0,333…=0,(3)=⅓

⅓ x 3 = 3/3 = 1

Stąd 0,999…=1.

Inny dowód:


\begin{align}
x           &= 0,999\ldots \\
10 x       &= 9,999\ldots \\
10 x - x    &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\
9 x         &= 9 \\
x           &= 1.
\end{align}

Tak na chłopski rozum:

Ile to jest 0,(3)? To jest ⅓, prawda? Pomnóż obie (równe sobie) liczby przez 3. Ile wyszło? 🙂


Wiele osób sądzi, że 0,(9) nie może równać się 0, gdyż jest to trochę mniej niż zero, różnica wynosi 0,000…001, którego nikt nie widział 😉

No cóż. Wszystko rozgrywa się dzięki geometrycznym szeregom nieskończonym:

Liczbę 0,(9) możemy przedstawić jako sumę 9/10+9/100+9/1000+…

Jest to szereg zbieżny. Jeśli suma wynosi s, to 10s=9+9/10+9/100+…= 9+s,

zatem 9s=9,a s=1.

Co zatem z tą legendarną różnicą 0,000…1? Każda liczba rzeczywista musi musi być w końcu różna od 0, w przeciwnym razie równa się po prostu 0. Zatem różnica między 1 a 0,(9) jest równa… 0, a zatem są one równe.


Jeśli zainteresowałeś się matematyką, być może nie widziałeś moich innych tekstów o Królowej Nauk: Problem urodzin, Rozkład Benforda. Zapisz się do newslettera, lub dodaj bloga do czytnika! Widzimy się za tydzień! 🙂

 

Źródło: Gabinet Matematycznych zagadek. Część II, Ian Stewart
Wikipedia, rozmaite dowody w sieci.
Źródło zdjęcia: Wikimedia
Advertisements

One thought on “Dlaczego 0,999…=1?

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s